Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(( - 10;10)\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + (2m - 2)x + m - 3 = 0\) có ba nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Xét hàm số : \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} + (2m - 2)x + m - 3\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2};{x_3}\) thỏa mãn \({x_1} <  - 1 < {x_2} < {x_3}\). Khi đó \(f\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\).

Ta có : \(f( - 1) = \left( { - 1 - {x_1}} \right)\left( { - 1 - {x_2}} \right)\left( { - 1 - {x_3}} \right) > 0\) do \({x_1} <  - 1 < {x_2} < {x_3}\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) =  - m - 5\) nên suy ra \( - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m <  - 5\).

Thử lại : với \(m <  - 5\) ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty \) nên tồn tại \(a <  - 1\) sao cho \(f(a) < 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Do \(m <  - 5\) nên \(f\left( { - 1} \right) =  - m - 5 > 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

\(f\left( 0 \right) = m - 3 < 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên tồn tại \(b > 0\) sao cho \(f\left( b \right) > 0{\rm{ }}\left( 4 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Vậy \(m <  - 5\) và \(m\) nguyên thuộc khoảng \(( - 10;10)\) nên \(m \in \{  - 9; - 8; - 7; - 6\} \).