Phương trình nào sau đây có đúng một nghiệm trên khoảng \(( - 1;1)\).
-
A.
\({x^5} - 5{x^3} + 4x - 1 = 0\).
-
B.
\({x^5} + 3{x^4} + x - 3 = 0\).
-
C.
\({x^4} - 2{x^2} + 1\).
-
D.
\({x^5} + 2x + 1 = 0\).
\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;\,b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Xét hàm số \(f(x) = {x^5} + 2x + 1\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(f( - 1) = - 2 < 0,f(1) = 4 > 0\).
Vì \(f(1) \cdot f( - 1) < 0\) nên phương trình \({x^5} + 2x + 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(( - 1;1)\)
Giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trên khoảng \(( - 1;1)\).
Khi đó \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x_1^5 - x_2^5 + 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\).
\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^4 + x_1^3{x_2} + x_1^2x_2^2 + {x_1}x_2^3 + x_2^4 + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {x_1^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 2} \right] = 0{\rm{ }}(1)\)
Do \({\left( {x_1^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)^2} + {\left( {x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1}{x_2}} \right)^2} + \frac{1}{2}x_1^2x_2^2 + 2 > 0{\rm{ }}\forall {x_1};{x_2}\)
Nên \((1) \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}\).
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm trên khoảng \(( - 1;1)\).
Đáp án : D
