Có bao nhiêu giá trị nguyên a thuộc khoảng (0;20) sao cho \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \) là một số nguyên.
-
A.
1
-
B.
3
-
C.
2
-
D.
4
Sử dụng giới hạn đặc biệt:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\)
\(\lim {n^k} = + \infty \) (với k nguyên dương)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} = \frac{a}{1} = a}\\{\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} = \lim \sqrt {3 + a - 0} = \sqrt {3 + a} \).
Để \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \) là một số nguyên thì \(\sqrt {3 + a} \) là một số nguyên.
Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \in \left( {0;20} \right) \in Z\\\sqrt {3 + a} \in Z\end{array} \right. \to a \in \left\{ {1;6;13} \right\}\).
Đáp án : B
