Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính tổng \(T = a + b\)

Ta có \(0,5111... = 0,5 + {10^{ - 2}} + {10^{ - 3}} + ... + {10^{ - n}} + ...\)

Dãy số \({10^{ - 2}};{10^{ - 3}};...;{10^{ - n}};...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng \({u_1} = {10^{ - 2}}\), công bội \(q = {10^{ - 1}}\) nên \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{90}}\)

Vậy \(0,5111... = 0,5 + S = \frac{{46}}{{90}} = \frac{{23}}{{45}} \to \left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = 45\end{array} \right. \to T = a + b = 68\)