Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\) bằng:
-
A.
4
-
B.
1
-
C.
\(\frac{1}{2}\)
-
D.
\(\frac{1}{3}\)
- Sử dụng công thức tính tổng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\)
Ta có \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
Do đó \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \lim \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6n\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{{\sqrt[3]{n} + 1}}{{\sqrt[3]{{n + 8}}}}\) bằng:
Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{{{3^n} - {{2.5}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}} + {5^n}}}\) bằng:
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{n}\) và \({v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Biết rằng \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right| \le \frac{1}{n}\). Chọn kết luận không đúng
Kết quả của giới hạn \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \)bằng:
Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}\)bằng:
Kết quả của giới hạn \(\lim \left( {5 - \frac{{n\cos 2n}}{{{n^2} + 1}}} \right)\) bằng:
Chọn khẳng định đung
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{2}{{n + 2}}\). Khi đó \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) có giá trị bằng
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + b}}{{5n + 3}}\) trong đó b là tham số thực. Để dãy số có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}}\) trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2, giá trị của a là
Tinh giới hạn \(L = \lim \left( {3{n^2} + 5n - 3} \right)\)
Giá trị của giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)\) bằng
Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và\(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\)
Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{1 - 3{n^2}}}\) là:
Kết quả của giới hạn \(\lim \left( {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)\) là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},n \ge 1\end{array} \right.\)
Tinh \(\lim {u_n}\)
Giá trị của giới hạn \(\lim \sqrt[3]{{{n^3} + 1}} - n\) là:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính tổng \(T = a + b\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên a thuộc khoảng (0;20) sao cho \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \) là một số nguyên.
