Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} + 4{u_n} = 4 - 5n\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\)

Tính tổng \(S = {u_{2018}} - 2{u_{2017}}\)

Đặt:\({u_n} = {v_n} - n\)\( \Rightarrow {v_1} = {u_1} + 1\)

\({v_{n + 1}} - (n + 1) =  - 4({v_n} - n) + 5\)vì \(\left( {{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 4 + 5n} \right) \Rightarrow {v_{n + 1}} =  - 4{v_n} + 5\)

Đặt: \({v_n} = {y_n} + 1 \Rightarrow {y_1} = 2\)

\({y_{n + 1}} + 1 =  - 4({y_n} + 1) + 5\) vì \(\left( {{v_{n + 1}} =  - 4{v_n} + 5} \right)\)\( \Rightarrow {y_{n + 1}} =  - 4{y_n}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_n} = 2.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{.2^{2n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {y_n} - n + 1 = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{.2^{2n - 1}} - n + 1\\ \Rightarrow S = {u_{2018}} - 2{u_{2017}} = 2015 - {3.4^{2017}}\end{array}\)