Cho một cấp số cộng \({u_1} = 1\), tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính \(S = \frac{1}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\).
-
A.
\(S = 123\).
-
B.
\(S = \frac{{49}}{{246}}\).
-
C.
\(S = \frac{4}{{23}}\).
-
D.
\(S = \frac{9}{{246}}\).
‒ Sử dụng định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(d\) không đổi, nghĩa là \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
‒ Sử dụng định lí: Giả sử \({u_n}\) là một cấp số công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 nên ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{u_1} + 99d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 24850 = \frac{{100\left[ {2.1 + 99d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 100\left[ {2 + 99d} \right] = 49700\\ \Leftrightarrow 2 + 99d = 497 \Leftrightarrow 99d = 495 \Leftrightarrow d = 5\end{array}\)
Ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 5\)
\(\begin{array}{l}5S = \frac{5}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{5}{{{u_{49}}.{u_{50}}}} = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\\ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\\ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49{\rm{d}}}}\\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 49.5}} = \frac{{245}}{{246}}\\ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}\end{array}\)
Đáp án : B
