Cho một cấp số cộng \({u_1} = 1\), tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính \(S = \frac{1}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\).
-
A.
\(S = 123\).
-
B.
\(S = \frac{{49}}{{246}}\).
-
C.
\(S = \frac{4}{{23}}\).
-
D.
\(S = \frac{9}{{246}}\).
‒ Sử dụng định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(d\) không đổi, nghĩa là \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
‒ Sử dụng định lí: Giả sử \({u_n}\) là một cấp số công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 nên ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{u_1} + 99d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 24850 = \frac{{100\left[ {2.1 + 99d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 100\left[ {2 + 99d} \right] = 49700\\ \Leftrightarrow 2 + 99d = 497 \Leftrightarrow 99d = 495 \Leftrightarrow d = 5\end{array}\)
Ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 5\)
\(\begin{array}{l}5S = \frac{5}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{5}{{{u_{49}}.{u_{50}}}} = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\\ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\\ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49{\rm{d}}}}\\ = \frac{1}{1} - \frac{1}{{1 + 49.5}} = \frac{{245}}{{246}}\\ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \({u_2} = 3\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Chọn đáp án đúng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 3\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(d = - 2\) và \({S_8} = 72\), khi đó số hạng đầu tiên là bao nhiêu?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có: \({u_1} = - 1,d = 2,{S_n} = 483\). Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?
Cho cấp số cộng có \({u_4} = - 12,{u_{14}} = 18\). Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là:
Tìm công sai của cấp số cộng có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 14\\{S_{12}} = 129\end{array} \right.\)
Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_4} - {u_6} = - 7\\{u_8} - {u_7} = 2{u_4}\end{array} \right.\)
Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng.
Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16\end{array} \right.\), biết công sai không lớn hơn 2.
Ông Sơn trồng cây trên một mãnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…, ở hàng thứ \(n\) có \(n\) cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Cho cấp số cộng:\({u_1};{u_2};{u_3};....\) có công sai \(d\). Biết \({u_2} + {u_{22}} = 40.\) Tính \({S_{23}}\).
Cho miếng giấy hình tam giác \(ABC\). Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là \({T_1}\). Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt \({T_1}\) là \({T_2}\)… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \({T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},...\) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\).
