Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.
-
A.
\({u_n} = {2^n} + 3\).
-
B.
\({u_n} = {3.2^{n + 1}}\).
-
C.
\({u_n} = {3.2^{n - 1}}\).
-
D.
\({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\).
Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Đặt \({v_n} = {u_n} + 3\). Ta có:
\(\begin{array}{l}{v_1} = {u_1} + 3 = 1 + 3 = 4\\{v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3 = \left( {2{u_n} + 3} \right) + 3 = 2\left( {{u_n} + 3} \right) = 2{v_n}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{v_1} = 4\\{v_2} = 2{v_1}\\{v_3} = 2{v_2} = 2.\left( {2{v_1}} \right) = {2^2}.{v_1}\\{v_4} = 2{v_3} = 2.\left( {{2^2}.{v_1}} \right) = {2^3}.{v_1}\\{v_5} = 2{v_4} = 2.\left( {{2^3}.{v_1}} \right) = {2^4}.{v_1}\\...\\{v_n} = 2{v_{n - 1}} = 2.\left( {{2^{n - 2}}.{v_1}} \right) = {2^{n - 1}}.{v_1} = {4.2^{n - 1}} = {2^{n + 1}}\end{array}\)
\( \Rightarrow {u_n} = {v_n} - 3 = {2^{n + 1}} - 3\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 3 - {u_n}\) với \(n \ge 1.\) Số hạng \({u_2}\) bằng
Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ 10 của dãy số là:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Ba số hạng đầu của dãy số là:
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Lựa chọn đáp án đúng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số bị chặn?
Trong các dãy số sau đây, với giả thiết \(n \in {\mathbb{N}^*}\):
\({u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n};{v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n};{q_n} = \sin n + \cos n\)
Số dãy số bị chặn là:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào bị chặn trên:
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15; 20; 25; … Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\) theo \(n\) của các dãy số sau : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi công thức \({u_n} = 3 - 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\).
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng của \(n\) số hạng đầu cho bởi công thức \({S_n} = {3^n} - 1\). Khẳng định nào sau đây sai?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = \sqrt {2023} }\\{{u_n} = \sqrt {2023 + {u_{n - 1}}} }\end{array}} \right.\). Nhận định nào dưới đây là đúng?
Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an - 1}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2023\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2024\cos \frac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n + 1\end{array} \right.\left( {n \ge 1} \right)\). Giá trị của \(n\) để \( - {u_n} + 2023n + 2024 = 0\) là:
