Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G sao cho ED // BC; \(E{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\) . M và N lần lượt là các điểm của GC và GB và MN // BC; \(MN = \frac{1}{2}BC\);

Để MNED là hình chữ nhật thì tam giác ABC cần có điều kiện:

Xét tam giác ABC : ED // BC; \(E{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\) (1)

+ Xét tam giác GBC có : MN // BC; \(MN = \frac{1}{2}BC\) (2)

Từ (1), (2) ⇒ MN // ED, MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+ Xét tam giác ABG có EN // AG hay EN // AI.

+ Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì \(\widehat {ENM} = {90^o}\) ⇒ EN ⊥ MN. Mà MN // BC (câu trên) nên EN ⊥ BC

+ Lại có EN // AI suy ra AI ⊥ BC

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

Tam giác cân có đường trung tuyến và đường cao trùng nhau tại đỉnh cân.