Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2,{u_2} = 3\\{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n}\end{array} \right.\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2} \right)\). Khi đó tổng \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) bằng:
-
A.
\(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).
-
B.
\(\frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}\).
-
C.
\(n\left( {n + 1} \right)\).
-
D.
\(n\left( {n + 3} \right)\).
Biến đổi \({u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n = 3,4,...\) để tìm số hạng tổng quát.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_3} = 2{u_2} - {u_1}\\{u_4} = 2{u_3} - {u_2}\\{u_5} = 2{u_4} - {u_3}\\...\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\begin{array}{l}{u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2} - {u_1}\\ \Leftrightarrow {u_n} + {u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_2} - {u_1}\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {u_2} - {u_1} = {u_n} + 3 - 2 = {u_n} + 1\end{array}\)
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 1 = \left( {{u_1} + 1} \right) + 1 = {u_1} + 2.1\\{u_4} = {u_3} + 1 = \left( {{u_1} + 2.1} \right) + 1 = {u_1} + 3.1\\...\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 1 = \left( {{u_1} + \left( {n - 2} \right).1} \right) + 1 = {u_1} + \left( {n - 1} \right).1 = 2 + n - 1 = n + 1\end{array}\)
Vậy ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = 2 + 3 + ... + \left( {n + 1} \right) = \left[ {1 + 2 + 3 + ... + \left( {n + 1} \right)} \right] - 1\\ = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} - 1 = \frac{{{n^2} + n + 2n + 2 - 2}}{2} = \frac{{{n^2} + 3n}}{2} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = 2 - 3n\) với \(n \ge 1\). Số hạng đầu \({u_1}\) bằng:
Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Ba số hạng đầu của dãy số là:
Cho tổng \({S_n} = 1 + 2 + 3 + .......... + n\). Khi đó \({S_{10}}\) là bao nhiêu?
Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Lựa chọn đáp án đúng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số bị chặn?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}}\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15; 20; 25; … Số hạng tổng quát của dãy số này là:
Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\) theo \(n\) của các dãy số sau : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2\end{array} \right.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi công thức \({u_n} = 3 - 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}}\).
Cho tổng \(S\left( n \right) = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Khi đó công thức của \(S\left( n \right)\) là:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng của \(n\) số hạng đầu cho bởi công thức \({S_n} = {3^n} - 1\). Khẳng định nào sau đây sai?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với:
\(\left\{ \begin{array}{l}{U_1} = \sqrt {2023} \\{U_{n + 1}} = \sqrt {2023 + \sqrt {{U_n}} } \end{array} \right.\,\,;\forall n \in {N^*}\)
Chọn câu trả lời đúng?
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thoả mãn điều kiện \({x_1} = 1,{x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},n = 1,2,3,...\) Số hạng \({x_{2023}}\) bằng:
