Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
-
A.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
-
B.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng.
-
C.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.
-
D.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_{30}} = 30\).
Sử dụng các định nghĩa:
‒ Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
‒ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số \(M\) và \(m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).
Ta có: \({u_1} = {\left( { - 1} \right)^1} = - 1;{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1;{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} = - 1\).
Do đó dãy số không tăng không giảm. Vậy B, C sai.
\({u_{30}} = {\left( { - 1} \right)^{30}} = 1\). Vậy D sai.
\( - 1 \le {\left( { - 1} \right)^n} \le 1\). Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn. Vậy A đúng.
Đáp án : A
