Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( {\cos x + 1} \right) = \cos x + 1\)là

Từ đồ thị ta có \(f\left( x \right) = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a \in \left( { - \infty ;0} \right)\\x = b \in \left( {0;1} \right)\\x = 2\end{array} \right.\)

Do đó \(f\left( {\cos x + 1} \right) = \cos x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = a \in \left( { - \infty ;0} \right)\\\cos x + 1 = b \in \left( {0;1} \right)\\\cos x + 1 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = a - 1 = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,(VN)\\\cos x = b - 1 = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\cos x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có 3 nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\).

Phương trình có \(2\)nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\).

Vậy phương trình ban đầu có tất cả 5 nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\).