Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin x = \cos 2x\) thuộc đoạn\(\left[ {0;20\pi } \right]\).

Ta có \(\sin x = \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \sin x = 1 - 2{\sin ^2}x\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2}}\\{\sin x =  - 1}\end{array}} \right.\).

\(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\sin x =  - 1\)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét \(x \in \left[ {0;20\pi } \right]\):

Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \), ta có \(0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le 20\pi \)\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{119}}{{12}}\), do \(k \in \mathbb{Z}\) nên có \(10\) số nguyên \(k\) thỏa mãn.

Với \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \), ta có \(0 \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \le 20\pi \)\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{115}}{{12}}\), do \(k \in \mathbb{Z}\) nên có \(10\) số nguyên \(k\) thỏa mãn.

Với \(x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \), ta có \(0 \le  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le 20\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{41}}{4}\), do \(k \in \mathbb{Z}\) nên có \(10\) số nguyên \(k\) thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có \(30\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;20\pi } \right]\)