Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\cos \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) + {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

\(\cos \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) + {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x - \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\4x - \frac{\pi }{6} =  - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{36}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Ta có mỗi họ nghiệm lần lượt có các nghiệm âm lớn nhất là: \({x_1} = \frac{\pi }{{12}} - \pi  =  - \frac{{11\pi }}{{12}};\,\,{x_2} = \frac{\pi }{{36}} - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{11\pi }}{{36}}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x =  - \frac{{11}}{{36}}\pi \).