Tìm số nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)  của phương trình \({\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x\)

\({\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ &  &  &  & \end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}\)