Gọi nghiệm lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \({\sin ^2}x + {\cos ^2}4x = 1\) có dạng \({x_0} = \frac{{\pi a}}{b}\). Tính giá trị biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).
-
A.
\(29\).
-
B.
\(41\).
-
C.
\(34\).
-
D.
\(13\).
Biến đổi phương trình về dạng cơ bản bằng cách sử dụng công thức lượng giác
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\end{array} \right.\)
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}4x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}4x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 8x = \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{l\pi }}{5}\end{array} \right.;\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k\frac{\pi }{3} < \pi \\0 < k\frac{\pi }{5} < \pi \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k < 3 \Rightarrow k = 1;k = 2\\0 < l < 5 \Rightarrow l = 1;l = 2;l = 3;l = 4;l = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{3\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}} \right\}\)
Suy ra nghiệm lớn nhất là \({x_0} = \frac{{4\pi }}{5} \Leftrightarrow P = 41\)
Đáp án : B
Danh sách bình luận