Hàm số \(y = 2\cos x + \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(\sqrt {a + b\sqrt 2 } ,\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính \(a + b\)
-
A.
\(4\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(6\)
-
D.
\(7\)
Sử dụng bất đẳng thức \({\left( {ab + cd} \right)^2} \le ({a^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})\)
+ Ta có: \(y = 2\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\cos x\)
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có
\({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 5 + 2\sqrt 2 \)
Suy ra \({y^2} \le 5 + 2\sqrt 2 \Leftrightarrow y \le \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \). Vậy \({y_{{\rm{max}}}} = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)
Đáp án : D
