Tìm \(m\) để bất phương trình \(\frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} \le m + 1\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Đặt \(y = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} = \frac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}\)

(Do \(\sin 2x + 2\cos 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \)hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\))

\( \Leftrightarrow \left( {3 - y} \right)\sin \,2x + \left( {1 - 2y} \right)\cos 2x = 3y\)

Suy ra \(\left[ {{{\left( {3 - y} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2y} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) \ge 9{y^2} \Leftrightarrow 2{y^2} + 5y - 5 \le 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {65} }}{4} \le y \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\).

\( \Rightarrow \max y = \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\).Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \le m + 1 \Leftrightarrow m \ge \frac{{\sqrt {65}  - 9}}{4}\).