Phương trình \(\sin x = \frac{x}{{2019}}\) có bao nhiêu nghiệm thực?

Đk: \( - 2019 \le x \le 2019\)

Nhận xét \(x = 0\) là nghiệm của phương trình.

Nếu \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình thì \(x =  - {x_0}\) cũng là nghiệm của phương trình

Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn \(\left[ {0;2019} \right]\). Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\)và \(y = \frac{x}{{2019}}\). Ta thấy

Trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right]\) phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \(\left( {4\pi ;6\pi } \right]\) phương trình có hai nghiệm phân biệt

…

Trên nửa khoảng \(\left( {640\pi ;642\pi } \right]\) phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng \(\left( {642\pi ;2019} \right]\) phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy trên đoạn \(\left[ {0;2019} \right]\) phương trình có một nghiệm \(x = 0\) và \(321{\rm{ x 2  + 1  =  643}}\) nghiệm dương phân biệt. Mà do \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình thì \(x =  - {x_0}\) cũng là nghiệm của phương trình nên trên nửa khoảng \(\left[ { - 2019;0} \right)\) phương trình cũng có \(643\) nghiệm âm phân biệt.

Do đó trên đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) phương trình có số nghiệm thực là \({\rm{643 x 2  + 1  =  1287}}\) nghiệm

Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là \(1287\)nghiệm.