Biểu thức \({\sin ^2}\left( x \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\) không phụ thuộc vào \(x\) và kết quả rút gọn bằng:
-
A.
\(\frac{2}{3}\)
-
B.
\(\frac{3}{2}\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Sử dụng công thức hạ bậc \(\frac{{1 - \cos \left( {2x} \right)}}{2} = {\sin ^2}\left( x \right)\)
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
\(\sin \left( \alpha \right) + \sin \left( \beta \right) = 2\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\left( x \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\\ = \frac{{1 - \cos \left( {2x} \right)}}{2} + \frac{{1 - \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)}}{2} + \frac{{1 - \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right) - \left[ {\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right) - 2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)\cos \left( {2x} \right)}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right)\left[ {1 + 2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]}}{2}\\ = \frac{{3 - \cos \left( {2x} \right)\left[ {1 + 2.\frac{{ - 1}}{2}} \right]}}{2} = \frac{3}{2}\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
Cho tam giác nhọn ABC. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là:
Chọn khẳng định sai:
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
Cho biết \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) và \(\sin x = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos x\)
Cho \(\tan \left( x \right) = 5\). Tính giá trị của \(P = \frac{{3\sin \left( x \right) - 4\cos \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right) + 2\sin \left( x \right)}}\)
Biểu thức \(\frac{{{{\cos }^3}\left( x \right)\sin \left( x \right) - {{\sin }^3}\left( x \right)\cos \left( x \right)}}{{\sin \left( {4x} \right)}}\) không phụ thuộc x và bằng:
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sin \left( {2x} \right)\cos \left( x \right)}}{{\left[ {1 + \cos \left( {2x} \right)} \right]\left[ {1 + \cos \left( x \right)} \right]}}\)
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \beta \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
Cho \(\sin \left( \alpha \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính giá trị của \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0}\)ta được:
Cho \(\cos \left( a \right) = \frac{1}{4}\). Tính \(\cos \left( {\frac{{3a}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2}} \right)\)
Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) - 1}}{{1 + 8{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right)}}\)
Thu gọn biểu thức \(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right)\)
Biểu thức \(Q = \frac{{1 + \sin \left( {4a} \right) - \cos \left( {4a} \right)}}{{1 + \sin \left( {4a} \right) + \cos \left( {4a} \right)}}\) bằng biểu thức nào sau đây:
Cho góc lượng giác \(x\) thỏa mãn \(\cos \left( x \right);\tan \left( x \right)\) cùng dấu. Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{5.\left| {\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)} \right|}}{{\sin \left( {x + {3^{2021}}.\pi } \right)}} - \frac{{\left| {\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)} \right|}}{{\cos \left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)}}\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) - 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\) ta được kết quả
Nếu \(\tan \left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{a}{b}\) thì \({\rm{a}}\sin \left( x \right) + b\cos \left( x \right)\) bằng:
Tính tổng \(S = {\sin ^2}{5^0} + {\sin ^2}{10^0} + {\sin ^2}{15^0} + ... + {\sin ^2}{85^0}\)
