Thu gọn biểu thức \(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right)\)
-
A.
\(P = 1 + 3{\cos ^2}\left( {2x} \right)\)
-
B.
\(P = 1 + \frac{3}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right)\)
-
C.
\(P = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right)\)
-
D.
\(P = 1 - 3{\cos ^2}\left( {2x} \right)\)
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin \left( {2x} \right) = 2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)\)
Biến đổi \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
\(P = {\sin ^6}\left( x \right) + {\cos ^6}\left( x \right) = {\left[ {{{\sin }^2}\left( x \right)} \right]^3} + {\left[ {{{\cos }^2}\left( x \right)} \right]^3}\)
\( = {\left[ {{{\sin }^2}\left( x \right) + {{\cos }^2}\left( x \right)} \right]^3} - 3{\sin ^2}\left( x \right){\cos ^2}\left( x \right)\left[ {{{\sin }^2}\left( x \right) + {{\cos }^2}\left( x \right)} \right]\)
\( = 1 - 3{\sin ^2}\left( x \right){\cos ^2}\left( x \right) = 1 - \frac{3}{4}{\left[ {2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)} \right]^2} = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}\left( {2x} \right)\)
Đáp án : C
