Cho \(\cot \alpha = 4\tan \alpha \), biết \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\sin \alpha \)
-
A.
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
-
B.
\(\frac{1}{2}\)
-
C.
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
-
D.
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Xét xem góc α thuộc góc phần tư thứ mấy để suy ra dấu của các giá trị lượng giác và kết hợp với các hệ thức cơ bản.
\(\cot \alpha = 4\tan \alpha \)
\(\Rightarrow \frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} = 4 \)
\( \Rightarrow \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}:\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 4\)
\( \Rightarrow \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 4\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)^2} = 4\)
\(\Rightarrow {\cot ^2}\alpha = 4\)
\(\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 5\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5\)
\(\Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha > 0\). Do đó \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án : D
