Cho \(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}};(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z})\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là:

\(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 - \tan x + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{1 - \tan x + {{\tan }^2}x}}{{1 + 2\tan x + {{\tan }^2}x}}\)

Đặt \(\tan x = t(t \ne  - 1)\)

\( \Rightarrow K = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits}  + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{1 + 2{\mathop{\rm t}\nolimits}  + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} \Rightarrow \left( {K - 1} \right){t^2} + \left( {2K + 1} \right)t + K - 1 = 0\)                   

Với \(K = 1\) thì phương trình có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits}  = 1\)

Với \(K \ne 1\) thì phương trình phải có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits}  \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\\left( {K - 1} \right){\left( { - 1} \right)^2} + \left( {2K + 1} \right)\left( { - 1} \right) + K - 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2K + 1} \right)^2} - 4{\left( {K - 1} \right)^2} = 12K - 3 \ge 0\\K \ne  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \ge \frac{1}{4}\\K \ne  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là \(\frac{1}{4}\)

Chọn đáp án D.