Cho \(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}};(x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z})\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(0\)
-
C.
2
-
D.
\(\frac{1}{4}\)
Rút gọn K và đổi biến để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
\(K = \frac{{1 + {{\tan }^3}x}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 - \tan x + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}} = \frac{{1 - \tan x + {{\tan }^2}x}}{{1 + 2\tan x + {{\tan }^2}x}}\)
Đặt \(\tan x = t(t \ne - 1)\)
\( \Rightarrow K = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{1 + 2{\mathop{\rm t}\nolimits} + {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} \Rightarrow \left( {K - 1} \right){t^2} + \left( {2K + 1} \right)t + K - 1 = 0\)
Với \(K = 1\) thì phương trình có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits} = 1\)
Với \(K \ne 1\) thì phương trình phải có nghiệm \({\mathop{\rm t}\nolimits} \ne - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\\left( {K - 1} \right){\left( { - 1} \right)^2} + \left( {2K + 1} \right)\left( { - 1} \right) + K - 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2K + 1} \right)^2} - 4{\left( {K - 1} \right)^2} = 12K - 3 \ge 0\\K \ne - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \ge \frac{1}{4}\\K \ne - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức K là \(\frac{1}{4}\)
Chọn đáp án D.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây:
Cho góc α thỏa mãn 900< α <1800. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Xét các mệnh đề sau:
I. \(c{\rm{os(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\) II. \({\rm{sin(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\) III. \({\rm{tan(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}\)
Mệnh đề nào sai ?
Cho góc α thỏa mãn \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Xác định dấu của biểu thức
M = \(c{\rm{os(}} - \frac{\pi }{2} + \alpha ).\tan (\pi - \alpha )\)?
Tính \(\sin \alpha \), biết \({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), biết \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\tan \alpha \)
Cho \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\), biết \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin \alpha \)
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính giá trị của biểu thức \(D = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cos \left( {13\pi + \alpha } \right) - 3\sin \left( {\alpha - 5\pi } \right)\)
Cho góc α, giá trị của biểu thức dưới đây bằng:\(\cos \alpha + \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha + \frac{{9\pi }}{5}} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sin \left( { - {{234}^0}} \right) - \cos {{216}^0}}}{{\sin {{144}^0} - \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}\), ta được:
Rút gọn biểu thức \(A = {\cos ^2}x{\cot ^2}x + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x\), ta được:
Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}} - {\cot ^2}x{\cot ^2}y\), ta được:
Cho \(3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \frac{1}{2}\). Giá trị \({\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x\) bằng:
Rút gọn biểu thức A dưới đây\(A = \sin \left( {x + \frac{{85\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {2023\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x + 33\pi } \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)\), ta được:
Rút gọn biểu thức \(M = 2{\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)^2} - \left( {{{\cos }^8}x + {{\sin }^8}x} \right)\), ta được:
Cho \(C = 6{\cos ^2}x + 5{\sin ^2}x\). Giá trị lớn nhất của biểu thức C là:
Cho \(F = {\cos ^2}x + 2\sin x + 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là:
