Cho \(3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \frac{1}{2}\). Giá trị \({\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x\) bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\( - 2\)
-
C.
1
-
D.
\( - 1\)
Sử dụng các hệ thức cơ bản để tính giá trị biểu thức.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x \Rightarrow 3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 3{\sin ^4}x - {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{\sin ^4}x - {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - \frac{3}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}x - \frac{1}{2}} \right)\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{2}\end{array}\)
(Loại \({\sin ^2}x = \frac{{ - 3}}{2}\) vì \({\sin ^2}x \ge 0\)).
Vậy \({\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 3{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2} = \frac{1}{4} + 3{\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^2} = 1\)
Đáp án : C
