Nguồn \(E = 20V,r = 1\Omega \) nối với mạch ngoài gồm \({R_1} = 0,5\Omega \) và \({R_2}\) mắc song song. Tìm \({R_2}\) để công suất tiêu thụ trên \({R_2}\) đạt cực đại.

Điện trở mạch ngoài là: \({R_N} = \frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \frac{{0,5.{R_2}}}{{0,5 + {R_2}}}\)

Cường độ dòng điện trong mạch chính:

\(I = \frac{E}{{r + {R_N}}} = \frac{{20}}{{1 + \frac{{0,5{R_2}}}{{0,5 + {R_2}}}}} = \frac{{20\left( {0,5 + {R_2}} \right)}}{{0,5 + 1,5{R_2}}}\)

Hiệu điện thế mạch ngoài là:

\(U = E - Ir = 20 - \frac{{20\left( {0,5 + {R_2}} \right)}}{{0,5 + 1,5{R_2}}} = \frac{{10{R_2}}}{{0,5 + 1,5{R_2}}}\)

Công suất trên \({R_2}\) là:

\(P = \frac{{U_2^2}}{{{R_2}}} = {\left( {\frac{{10{R_2}}}{{0,5 + 1,5{R_2}}}} \right)^2}.\frac{1}{{{R_2}}} = \frac{{100{R_2}}}{{0,{5^2} + 2.0,5.1,5{R_2} + 1,{5^2}R_2^2}}\)

Chia cả tử và mẫu cho \({R_2}\) ta được: \(P = \frac{{100}}{{\frac{{0,{5^2}}}{{{R_2}}} + 1,{5^2}{R_2} + 1,5}}\)

Để \({P_{\max }}\) thì mẫu \(\frac{{0,{5^2}}}{{{R_2}}} + 1,{5^2}{R_2} + 1,5\) min

Áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:

\(\frac{{0,{5^2}}}{{{R_2}}} + 1,{5^2}{R_2} \ge 2.\sqrt {\frac{{0,{5^2}}}{{{R_2}}}.1,{5^2}{R_2}} {\rm{ \;}} = 1,5\)

Vậy \({P_{\max }}\) khi \(\frac{{0,{5^2}}}{{{R_2}}} = 1,{5^2}{R_2} \Rightarrow {R_2} = \frac{1}{3}{\mkern 1mu} \Omega \)