Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là $8$ và \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1\).
-
B.
\(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).
-
C.
\(\dfrac{{{x^2}}}{1} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
-
D.
\(\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\) Tìm \(a,b\)
+ Hình chữ nhật cơ sở của elip có chiều dài bằng \(2a\) và chiều rộng bằng \(2b\)
+ Elip có \(e = \dfrac{c}{a}\) với \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Phương trình elip cần tìm có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(4ab\)
Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)
Elip có \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)
Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.\)
Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho elip (E) có tiêu cự là \(2c\), độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(2a\) và \(2b\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho elip \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0\). Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:
Cho elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) và cho các mệnh đề:
1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}(0; - 4)\) và \({F_2}(0;4)\)
2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\)
3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\)
4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng $3.$
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:
Elip có độ dài trục lớn là $12,$ độ dài trục nhỏ là $8$ có phương trình chính tắc là:
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $12,$ tiêu cự là $10$ là:
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $20,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\) là:
Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là $6,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\) là
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) là:
Cho elip chính tắc $(E)$ có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\) và một đỉnh là \(A(5;0).\) Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) và tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) là:
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:
Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\), tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\).
Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\) và đi qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) là:
Phương trình chính tắc của elip có đi qua \(M(1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }})\), tiêu cự là $4$ là:
Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3})\) và \(N(2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3})\) là:
