Trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right),$ cho đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\) và hai điểm $A\left( { - 2;0} \right),B\left( {4;3} \right).$ Viết phương trình các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB.$
-
A.
$7x - 4y + 4 = 0$ và $x + 8y - 18 = 0$
-
B.
$5x - 4y + 4 = 0$ và $x + 6y - 18 = 0$
-
C.
$x + 8y - 18 = 0$
-
D.
$7x - 4y = 0$ và $x + 8y - 8 = 0$
- Tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(AB\)
- Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} \) làm véc tơ pháp tuyến.
Đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \dfrac{7}{2}x - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{4}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{65}}{{16}}\)
\( \Rightarrow \) $\left( C \right)$ có tâm \(I\left( {\dfrac{7}{4};0} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{4}\)
Đường thẳng $AB$ với $A\left( { - 2;0} \right)$ và $B\left( {4;3} \right)$ có phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{6} = \dfrac{y}{3}\) hay \(y = \dfrac{{x + 2}}{2}\)
+ Giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB$ có tọa độ là nghiệm hệ PT
\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{\left( {\dfrac{{x + 2}}{2}} \right)^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x(x - 2) = 0\\{\rm{y = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 2;y = 2\end{array} \right.\)
Vậy có hai giao điểm là $M\left( {0;1} \right)$ và $N\left( {2;2} \right)$
+ Các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ và $N$ lần lượt nhận các vectơ \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \dfrac{7}{4};1} \right)\) và \(\overrightarrow {IN} = \left( {\dfrac{1}{4};2} \right)\) làm các vectơ pháp tuyến, do đó các TT đó có phương trình lần lượt là:
\( - \dfrac{7}{4}(x - 0) + 1(y - 1) = 0\) hay \(7x - 4y + 4 = 0\)
\(\dfrac{1}{4}(x - 2) + 2(y - 2) = 0\) hay \(x + 8y - 18 = 0\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\) và đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d:4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 1\) khi:
Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn:
Tiếp tuyến với đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 2\) tại điểm \(M(1;1)\) có phương trình là:
Cho \((C):{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0,\) một phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \((d):3x + 4y - 37 = 0\) là:
Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn\(\left( {{C_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 4x = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right)\):\({x^2} + {y^2} + 8y = 0\).
Cho đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ và điểm $M\left( {4;1} \right).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và đi qua $M.$
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x = 0$. Số phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng \({60^o}\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2}-6x + 5 = 0.$ Tìm điểm $M$ thuộc trục tung sao cho qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng ${60^0}.$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( {-1;1} \right)$ và $B\left( {3;3} \right),$ đường thẳng $\Delta :3x-4y + 8 = 0.$ Có mấy phương trình đường tròn qua $A,B$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)?
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng $\Delta :x + 3y + 8 = 0$, $\Delta ':\,3x - 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { - 2;1} \right).$ Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \), đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta '\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$ và đường thẳng $d:3x - 4y + m = 0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất điểm $P$ sao cho từ $P$ vẽ $2$ tiếp tuyến $PA, PB$ của đường tròn và tam giác $PAB $ là tam giác đều.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy $ cho đường tròn $(C):$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$. Gọi $I$ là tâm của $(C ).$ Xác định điểm $M$ thuộc $(C )$ sao cho $\widehat {IMO} = {30^0}.$
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C ):$ ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0$ và đường thẳng $d: $ $x - y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ sao cho $\Delta $ song song với $d$ và cắt $(C )$ tại $2$ điểm $M, N$ sao cho độ dài $MN=2.$
Cho đường tròn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$ và điểm $M(5;2).$ Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $M$ và cắt $(C )$ tại $2$ điểm $A$ và $B$ sao cho $M $ là trung điểm của $AB.$
