Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2}-6x + 5 = 0.$ Tìm điểm $M$ thuộc trục tung sao cho qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng ${60^0}.$
-
A.
$M\left( {0;\sqrt 7} \right)$
-
B.
$M\left( { 0;-\sqrt 7} \right)$
-
C.
\(\left( {0;\sqrt 7 } \right)\) và \(\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\)
-
D.
\(\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\) và \(\left( {- \sqrt 7 ;0} \right)\)
Gọi tọa độ $M(0;m)$, vẽ hình và sử dụng điều kiện góc giữa hai tiếp tuyến bằng $60^0$ để tìm $M$
Viết lại phương trình của $\left( C \right)$ dưới dạng: ${\left( {x-3} \right)^2} + {y^2} = 4.$
Từ đó, $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;0} \right)$ và bán kính $R = 2$
Giao của đường tròn với trục tung $\left( {x = 0} \right)$ là: ${\left( { - 3} \right)^2} + {y^2} = 4.$
Nên ${y^2} = - 5$ (vô lý)
Suy ra trục tung không có điểm chung với đường tròn $\left( C \right).$
Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy\) mà góc giữa hai tiếp tuyến \(ME,MF\) bằng \({60^0}\)
Khi đó \(\widehat {IME} = {30^0}\) suy ra \(MI = \dfrac{{IE}}{{\sin \widehat {IME}}} = \dfrac{2}{{\sin {{30}^0}}} = 4\)
Do đó \(\sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - m} \right)}^2}} = 4\) \( \Leftrightarrow \sqrt {9 + {m^2}} = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 7 \)
Vậy có hai điểm \(M\) cần tìm là \(\left( {0;\sqrt 7 } \right)\) và \(\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\) và đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng \(d:4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 1\) khi:
Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn:
Tiếp tuyến với đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 2\) tại điểm \(M(1;1)\) có phương trình là:
Cho \((C):{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0,\) một phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \((d):3x + 4y - 37 = 0\) là:
Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn\(\left( {{C_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 4x = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right)\):\({x^2} + {y^2} + 8y = 0\).
Cho đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ và điểm $M\left( {4;1} \right).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và đi qua $M.$
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x = 0$. Số phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng \({60^o}\).
Trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right),$ cho đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\) và hai điểm $A\left( { - 2;0} \right),B\left( {4;3} \right).$ Viết phương trình các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB.$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( {-1;1} \right)$ và $B\left( {3;3} \right),$ đường thẳng $\Delta :3x-4y + 8 = 0.$ Có mấy phương trình đường tròn qua $A,B$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \)?
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng $\Delta :x + 3y + 8 = 0$, $\Delta ':\,3x - 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { - 2;1} \right).$ Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \), đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta '\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$ và đường thẳng $d:3x - 4y + m = 0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất điểm $P$ sao cho từ $P$ vẽ $2$ tiếp tuyến $PA, PB$ của đường tròn và tam giác $PAB $ là tam giác đều.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy $ cho đường tròn $(C):$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$. Gọi $I$ là tâm của $(C ).$ Xác định điểm $M$ thuộc $(C )$ sao cho $\widehat {IMO} = {30^0}.$
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C ):$ ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0$ và đường thẳng $d: $ $x - y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ sao cho $\Delta $ song song với $d$ và cắt $(C )$ tại $2$ điểm $M, N$ sao cho độ dài $MN=2.$
Cho đường tròn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$ và điểm $M(5;2).$ Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $M$ và cắt $(C )$ tại $2$ điểm $A$ và $B$ sao cho $M $ là trung điểm của $AB.$
