Cho \((C):{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0,\) một phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \((d):3x + 4y - 37 = 0\) là:

\((C):{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0,\) có tâm \(I\left( { - 2;1} \right);\,\,R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + 20}  = 5\)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \((d):3x + 4y - 37 = 0\) nên phương trình tiếp tuyến có dạng \(4x - 3y + c = 0\) (d’)

Vì d’ là tiếp tuyến của đường tròn có tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\) và \(R = 5\) nên ta có

\(d\left( {I;d'} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.1 + c} \right|}}{5} = 5\)\( \Leftrightarrow |c - 11| = 25\)\( \Leftrightarrow c = 36\)  hoặc \(c =  - 14\)