Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình là \({x_1} = 5\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\,\,\left( {cm} \right)\) và \({x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\) thì dao động tổng hợp có phương trình là \(x = A\cos \left( {\omega t - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\). Thay đổi \({A_2}\) để \(A\) có giá trị bằng một nửa giá trị cực đại mà nó có thể đạt được thì \({A_2}\) có giá trị là
-
A.
\(\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\).
-
B.
\(\dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }}\,\,cm\).
-
C.
\(5\sqrt 3 \,\,cm\).
-
D.
\(10\sqrt 3 \,\,cm\).
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp giản đồ vecto
Định lí hàm sin: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)
Định lí hàm cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Ta có giản đồ vecto:
Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
\(\dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{A_1}}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} \Rightarrow \dfrac{A}{{\sin \alpha }} = \dfrac{5}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = 10 \Rightarrow A = 10\sin \alpha \)
Biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại:
\({A_{\max }} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha } \right)_{\max }} = 1 \Rightarrow A = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Theo đề bài ta có: \(A = \dfrac{{{A_{\max }}}}{2} = 5\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí hàm cos, ta có:
\(\begin{array}{l}{A_1}^2 = {A_2}^2 + {A^2} - 2A.{A_2}\cos \dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {5^2} = {A_2}^2 + {5^2} - 2.5.{A_2}.cos\dfrac{\pi }{6}\\ \Rightarrow {A_2}^2 - 5\sqrt 3 {A_2} = 0 \Rightarrow {A_2} = 5\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
