Nếu \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right)\) thì \(\dfrac{a}{b}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}.\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2}.\)
Đặt \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b) = t\) sau đó biểu diễn \(a,b\) theo \(t\)
Lập phương trình mũ ẩn t. Đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
Từ đó tính được \(\dfrac{a}{b}\) .
Ta có: \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b) = t\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = {4^t}\\b = {6^t}\\a + b = {9^t}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} - 1 = 0\)
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = u > 0 \Rightarrow {u^2} + u - 1 = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {tm} \right)\\u = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Nên \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Mà \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{4^t}}}{{{6^t}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\) nên \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Đáp án : A
