Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{1 - x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;1} \right)\). Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua A. Tính tổng bình phương các phần tử của tập S.

Bước 1:

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {1 - x} \right) - \left( { - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với \({x_0} \ne 1\).

Khi đó tiếp tuyến của đồ thị tại M là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\)

Bước 2:

Vì tiếp tuyến đi qua \(A\left( {m;1} \right)\) nên ta có:

\(1 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {m - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{{\left( {{x_0} - m} \right) - \left( {{x_0} - 2} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{{\left( {{x_0} - m} \right) - \left( {{x_0} - 2} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x_0^2 - 6{x_0} + m + 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} + m + 3 = 0\left( 1 \right)\end{array}\)

Bước 3:

Để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua A thì phương trình (1) có đúng một nghiệm.

TH1: Phương trình có nghiệm kép \({x_0} \ne 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 9 - 2.\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{2.1^2} - 6.1 + m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{3}{2}\\m = 1\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Bước 4:

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\}\)

Tổng bình phương các phần tử của S là: \(\dfrac{9}{4} + 1 = \dfrac{{13}}{4}\).