Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA=2a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng CG và mặt phẳng (SAC). Tính \(\sin \alpha \).
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{\sqrt {34} }}\)
-
C.
\(\dfrac{2}{{\sqrt {17} }}\)
-
D.
\(\dfrac{2}{{\sqrt {34} }}\)
Bước 1: Xác định đường thẳng qua G và vuông góc với (SAC).
Bước 2: Xác định góc giữa CG và (SAC).
Bước 3: Tính góc
Kẻ \(PQ||SA\), \(Q \in AC\).
Sử dụng định lý pytago trong tam giác CPQ.
Bước 1:
Gọi O là tâm của ABCD.
M là trung điểm của AO, N là trung điểm của AB.
Qua G kẻ GP song song với MN (\(P \in SM\)).
Ta có ABCD là hình vuông nên \(BD \bot AC\). Mà \(MN||BD\)\( \Rightarrow MN \bot AC\).
Ta lại có \(MN \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
=> \(MN \bot \left( {SAC} \right)\)
\(GP||MN \Rightarrow GP \bot \left( {SAC} \right)\)
Bước 2:
Hình chiếu của C lên (SAC) là C, hình chiếu của G lên (SAC) là P.
=> Hình chiếu của CG lên (SAC) là CP
Góc giữa CG và (SAC) là góc giữa CG và CP và bằng \(\widehat {GCP} = \alpha \)
Bước 3:
\(GP = \dfrac{2}{3}MN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}OB\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{6}.a\sqrt 2 \)
Kẻ \(PQ||SA \Rightarrow PQ = \dfrac{1}{3}SA = \dfrac{{2a}}{3}\)
\(\begin{array}{l}CQ = \dfrac{1}{3}MA + 3MA = \dfrac{{10}}{3}.MA\\ = \dfrac{{10}}{3}.\dfrac{1}{4}AC = \dfrac{5}{6}AC = \dfrac{{5.a\sqrt 2 }}{6}\\ \Rightarrow CP = \sqrt {C{Q^2} + P{Q^2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{25{a^2}}}{{18}} + \dfrac{{4{a^2}}}{9}} = a\sqrt {\dfrac{{11}}{6}} \\ \Rightarrow CG = \sqrt {C{P^2} + G{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{3}\\ \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{GP}}{{CG}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{3}{{\sqrt {17} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {34} }}\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC = a.\) Trên đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) lấy điểm \(S\) sao cho $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Tính số đo góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng \(a\) và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$
Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi $\alpha $ là góc giữa $AC'$ và mp $\left( {A'BCD'} \right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khẳng định nào sau đây sai ?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 6 \). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SC\) và \(mp\left( {SAB} \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Cho hình chóp \(S.ABDC\), với đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O;AD,SA,AB\) đôi một vuông góc \(AD = 8,SA = 6\). \((P)\) là mặt phẳng qua trung điểm của \(AB\) và vuông góc với \(AB\). Thiết diện của \((P)\) và hình chóp có diện tích bằng?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Độ dài \(SG\) là:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(SA = SB = SC = b\). Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\). Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SC\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để \((P)\) cắt \(SC\) tại điểm \({C_1}\) nằm giữa \(S\) và \(C\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều có đường cao \(SH\) vuông góc với \(mp(ABCD)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(BD\) và \(mp(SAD)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Cho tứ diện \(ABCD\) đều. Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AB\) và \(mp(BCD)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Gọi $\alpha $ là góc giữa $A{C_1}$ và mp$\left( {ABCD} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \sqrt {15} a\) (tham khảo hình bên)
Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng
