Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \). Cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(SA = 2a\).

Câu 1

Tính góc giữa SC và mặt phẳng \((ABCD)\).

    A.

    \(45^\circ \)

    B.

    \(30^\circ \)

    C.

    \(60^\circ \)

    D.

    \(90^\circ \)

Đáp án: A

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định hình chiếu của SC lên (ABCD).

Bước 2: Xác định góc giữa SC và (ABCD).

Bước 3: Tính góc giữa SC và (ABCD) theo a.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Bước 1:

\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

Bước 2:

Góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\)

Bước 3: 

\(AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2a\)

\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \)

Vậy góc giữa SC và (ABCD) là \(45^\circ \)

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn
Câu 2

Gọi \({\rm{E}}\) là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.

    A.

    $\dfrac{{6a}}{{\sqrt {19}}}$

    B.

    $\dfrac{{3a}}{{\sqrt {19}}}$

    C.

    $\dfrac{{19a}}{{\sqrt {6}}}$

    D.

    $\dfrac{{9a}}{{\sqrt {19}}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) qua SC và song song với DE.

\(d\left( {SC,DE} \right) = d\left( {D,\left( P \right)} \right)\)

Bước 2: Tìm mối quan hệ \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) và \(d\left( {D,\left( P \right)} \right)\).

Bước 3: Tìm hình chiếu của A lên (P).

Bước 4: Tính \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) từ đó tính \(d\left( {D,\left( P \right)} \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Bước 1:

Kẻ CF||DE ( F thuộc AD).

=> DE||(SCF)

Bước 2:

=>d(DE,SC)=d(DE,(SCF))=d(D,(SCF)).

ECFD là hình bình hành nên

\(\begin{array}{l}DF = EC = \dfrac{{AD}}{2} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{DF}} = 3\\ \Rightarrow d\left( {D,\left( {SCF} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right)\end{array}\).

Bước 3:

Kẻ \(AH \bot CF;AK \bot SH\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} \Rightarrow CF \bot AH\\CF \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow CF \bot \left( {SAH} \right)\\ \Rightarrow CF \bot AK \Rightarrow AK \bot \left( {SCF} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCF} \right)} \right) = AK\end{array}\)

Bước 4:

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {HFA} = \tan \widehat {CFD} = \dfrac{{DC}}{{DF}} = 2\\ \Rightarrow AH = 2HF\\ \Rightarrow A{H^2} + \dfrac{{A{H^2}}}{4} = A{F^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}.a\sqrt 2 } \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{5}{4}A{H^2} = \dfrac{{9{a^2}}}{2} \Rightarrow A{H^2} = \dfrac{{18{a^2}}}{5}\\\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}}\\ = \dfrac{5}{{18{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{36{a^2}}}\\ \Rightarrow AK = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {19} }}\\ \Rightarrow d\left( {SC,DE} \right) = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {19} }}\end{array}\)


Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cạnh $BC = a,\,\,AC = 2a\sqrt 2 $, góc $\widehat {ACB} = {45^0}$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC).$

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có $AB = a\sqrt 2 $. Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AD = a,\) \(AB = 2a,\) \(BC = 3a,\) \(SA = 2a\), \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\), \(SH\) là đường cao của hình chóp \(S.ABCD\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với mặt đáy một góc $60^\circ $. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right).\) Tính khoảng cách \(d\) từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$; góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Tính khoảng cách \(d\) từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SMC} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,{\rm{ }}AC = a\sqrt 3 $. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $2a$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${60^0}$. Tính khoảng cách \(d\) từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho hình chóp \(S.ACBD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = AB = BC = 1\), \(AD = 2\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Tính khoảng cách \(d\) từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ .

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), $AD = 2BC,$ $AB = BC = a\sqrt 3 $. Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(E\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,{\rm{ }}AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SD\) với đáy bằng \({60^0}.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo \(a\).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách

đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách \(d\) từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) đều, hình chiếu vuông góc \(H\) của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(SD\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) góc \({30^0}\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a\).

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $H$ trùng với trung điểm của $AB$, biết $SH = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là giao điểm của $HD$ và $AC$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat {SCA} = \widehat {BSC} = {30^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.

Xem lời giải >>