Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) thuộc (C) sao cho tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Bước 1:

Gọi điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến tại M. Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là \(f'\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{1.\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

Bước 3:

Đường thẳng tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân khi hệ số góc thỏa mãn \(\left| k \right| = 1\)

\( \Rightarrow \left| {f'\left( {{x_0}} \right)} \right| = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {2{x_0} - 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 4:

\({x_0} = 2 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) =  - 1;f\left( {{x_0}} \right) = 1\).

Tiếp tuyến: \(y =  - \left( {x - 2} \right) + 1 =  - x + 3\)

\({x_0} = 1 \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) =  - 1;f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Tiếp tuyến: \(y =  - \left( {x - 1} \right) =  - x + 1\)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là \(y =  - x + 3\) và \(y = 1 - x\)