Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 10x + 16 \le 0\left( 1 \right)\\mx \ge 3m + 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 8 \le x \le  - 2.\) Suy ra \({S_1} = \left[ { - 8; - 2} \right]\).

Giải bất phương trình (2)

Với \(m = 0\) thì bất phương trình (2) trở thành \(0x \ge 1\) : vô nghiệm .

Với \(m > 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \ge \dfrac{{3m + 1}}{m}\) .

Suy ra \({S_2} = \left[ {\dfrac{{3m + 1}}{m}; + \infty } \right)\).

Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow  - 2 < \dfrac{{3m + 1}}{m}\) \( \Leftrightarrow  - 2m < 3m + 1 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{5}\).

Kết hợp \(m > 0\) ta được \(m > 0\).

+) Với \(m < 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \le \dfrac{{3m + 1}}{m}\).

Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{3m + 1}}{m}} \right]\).

Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{m} <  - 8\) \( \Leftrightarrow 3m + 1 >  - 8m \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{{11}}\).

Kết hợp với \(m < 0\) ta được \( - \dfrac{1}{{11}} < m < 0\).

Vậy \(m >  - \dfrac{1}{{11}}\).