Thấu kính hội tụ có tiêu cự f. Khoảng cách ngắn nhất giữa vật thật và ảnh thật qua thấu kính là

Ta có công thức thấu kính:

\(\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}} = \dfrac{1}{f} \Rightarrow d' = \dfrac{{df}}{{d - f}}\)

Khoảng cách giữa vật thật và ảnh thật là:

\(\begin{array}{l}L = d + d' = d + \dfrac{{df}}{{d - f}} = \dfrac{{{d^2}}}{{d - f}} = \dfrac{{\left( {{d^2} - 2df + {f^2}} \right) + \left( {2df - 2{f^2}} \right) + {f^2}}}{{d - f}}\\ \Rightarrow L = \dfrac{{{{\left( {d - f} \right)}^2} + 2f\left( {d - f} \right) + {f^2}}}{{d - f}} = \left( {d - f} \right) + \dfrac{{{f^2}}}{{d - f}} + 2f\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {d - f} \right) + \dfrac{{{f^2}}}{{d - f}} \ge 2\sqrt {\left( {d - f} \right).\dfrac{{{f^2}}}{{d - f}}}  = 2f\\ \Rightarrow {L_{\min }} = 4f \Leftrightarrow \left( {d - f} \right) = \dfrac{{{f^2}}}{{d - f}} \Rightarrow d - f = f \Rightarrow d = 2f\end{array}\)