Tìm các giá trị của tham số $m$ để $2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 4 \ge 0 \left( {\forall x} \right)$

Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 4\) luôn nằm phía trên trên trục hoành.

Suy ra với giá trị ${x_0}$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lớn hơn hoặc bằng $0.$

Parabol có hệ số $a = 2 > 0$ nên có bề lõm hướng lên trên đạt GTNN tại đỉnh parabol \(x = \dfrac{{m + 1}}{2}\)

Điều này tương đương với $y\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right) \ge 0$

$\Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right) + {m^2} - 2m + 4 \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 6m + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 3 + \sqrt 2 \\m \le 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.$