Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Xét các số phức \(z,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\overline {\rm{w}} + 6 + 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}\)
-
C.
\(3\) D. \(\sqrt 5 \)
-
D.
\(\sqrt 5 \)
Dùng phương pháp hình học \( \to \) kĩ năng dồn số phức.
Vẽ hình, lập luận để tìm ra giá trị \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\).
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z + 6 + 8i\) và \(i\overline {\rm{w}} \).
Ta có: \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z + 6 + 8i} \right) + \left( { - 6 - 8i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow MI = 1\) với \(I\left( { - 6; - 8} \right).\)
Suy ra tập hợp điểm \(M\) là đường tròn \(\left( {{T_1}} \right)\) tâm \(I\left( {6;8} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1\).
Ta có: \(\left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| i \right|.\left| {\overline {\rm{w}} } \right| = 2.\)
Suy ra tập hợp điểm \(N\) là đường tròn \(\left( {{T_2}} \right)\) tâm \(O\) và bán kính \({R_2} = 2\).
Ta có: \(P = \left| {z + \overline {iw} + 6 + 8i} \right| = MN\)
\( \Rightarrow \min P = OI - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\) (do \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_2}} \right)\) rời nhau).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \\\overrightarrow {ON} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - \dfrac{{27}}{5}; - \dfrac{{36}}{5}} \right)\\N\left( { - \dfrac{6}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\{\rm{w}} = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)
Vậy \(\left| {z - {\rm{w}}} \right| = \left| {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Với hai số phức bất kì ${z_1},{z_2}$ , khẳng định nào sau đây đúng:
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của\(\left| z \right|\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức \(z - i\) có mô đun nhỏ nhất là:
Xác định số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = \sqrt 2 \) mà \(|z|\) đạt giá trị lớn nhất.
Cho số phức \(z\) có \(|z| = 2\) thì số phức \(w = z + 3i\) có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là
Cho số phức \(z\) thoả \(|z - 3 + 4i| = 2\) và \(w = 2z + 1 - i\). Khi đó \(|w|\) có giá trị lớn nhất là:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|{z^2} - i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|\bar z|\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).
Cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng \(3x - 4y - 3 = 0\), $\left| z \right|$ nhỏ nhất bằng.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
Cho \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(|{z_1} - {z_2}| = 1\) và \(|{z_1} + {z_2}| = 3\). Tính \(\max T = |{z_1}| + |{z_2}|\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1| = 1\).
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Xét các số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {\rm{w}} \right| = 2.\) Khi \(\left| {z + i\,\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - {\rm{w}}} \right|\) bằng?
