Đề bài

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$ thỏa mãn ${27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{18x}}$

A.
$19$
B.
$20$
C.
$18$
D.
$21$

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức ban đầu, đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right)$

Xét trường hợp $y = 0$ và $y \ne 0$. Ta khảo sát hàm $f\left( x \right)$ và chỉ ra tập giá trị của $y$ thỏa mãn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} = xy + 1$

ĐK: $xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}$ khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$$ \Rightarrow y > - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$.

Xét ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1 = 0$

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 17}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 6 \right) = {27^{6y}} - 6y - 1\end{array} \right.$

Nhận thấy $f\left( 6 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}$. Dấu bằng xảy ra khi $y = 0$.

Xét $y = 0$ thay vào phương trình ban đầu $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.$ loại vì $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 6 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*$

Ta table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ ta rút ra được $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;17;18} \right\}$.

Ta có: $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 6 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;18} \right\}$

Có $20$ giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 19$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 18} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 19\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\end{array} \right.$

Vậy có $20$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn.

Đáp án : B

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Phương trình ${4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}$ có nghiệm là:

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104 Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{18x}}\)

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{18x}}\)