Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
-
A.
\({a^2} < ab + ac\)
-
B.
\(ab + bc > {b^2}\)
-
C.
\(b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc\)
-
D.
\(b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc\)
Biến đổi các mệnh đề và áp dụng bất đẳng thức tam giác.
\(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác thì \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).
Bất đẳng thức tam giác: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)
Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b > c\\a + c > b\\b + c > a\end{array} \right.\)
+) Xét \({a^2} < ab + ac\)\( \Leftrightarrow {a^2} < a\left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow a < b + c\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
+) Xét \(ab + bc > {b^2}\) \( \Leftrightarrow b\left( {a + c} \right) > {b^2}\)\( \Leftrightarrow a + c > b\,\,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
+) Xét \(b{}^2 + {c^2} < {a^2} + 2bc\)\( \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc < {a^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}\)
\( \Leftrightarrow (b - c - a)(b-c+a)<0 \left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
+) Xét \(b{}^2 + {c^2} > {a^2} + 2bc\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow b{}^2 + {c^2} - 2bc > {a^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} > {a^2}\\ \Leftrightarrow |b - c| > a\left( {ktm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Đáp án : D
