Cho hai tập hợp \(A=[0;5]\) và \(B=(2a; 3a+1],\) \(a>-1.\) Với giá trị nào của \(a\) thì \(A \cap B \ne \emptyset ?\)
-
A.
\(\left[ \matrix{ a \ge {5 \over 2} \hfill \cr a < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
-
B.
\( - {1 \over 3} \le a < {5 \over 2}\)
-
C.
\(\left[ \matrix{ a < {5 \over 2} \hfill \cr a \ge - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
-
D.
\( - {1 \over 3} \le a \le {5 \over 2} \)
+) Tìm điều kiện để \(A \cap B = \emptyset\)
+) Lấy phần bù của a tìm được bên trên và kết hợp với điều kiện $a>-1$
\(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ 2a \ge 5 \hfill \cr 3a + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr a > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ a \ge {5 \over 2} \hfill \cr a < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr a > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a \ge {5 \over 2} \hfill \cr - 1 < a < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < \frac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}a \le - 1\\a \ge - \frac{1}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < \frac{5}{2}\\a \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a \le - 1\\\left\{ \begin{array}{l}a < \frac{5}{2}\\a \ge - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le a < \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
Mà \(a > - 1\) nên \( - \frac{1}{3} \le a < \frac{5}{2}\)
Đáp án : B
Cách khác:
Khi tìm điều kiện của a để \(A \cap B \ne \emptyset\) ta có thể làm như sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}a > - 1\\2a < 5\\3a + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le a < \frac{5}{2}\)
