Cho hàm số $y = {x^3} - \left( {m + 3} \right){x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 3\left( {m + 1} \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm là:
-
A.
$\emptyset $
-
B.
$\left\{ { - 2;2} \right\}$
-
C.
$\left( { - \infty ; - 4} \right)$
-
D.
$\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Nêu điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm $ \Leftrightarrow $ phương trình $\left( * \right)$ có 3 nghiệm phân biệt âm.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
${x^3} - \left( {m + 3} \right){x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3\left( {m + 1} \right) = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. $
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm âm phân biệt khác $ - 1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ - \dfrac{b}{a} < 0 \hfill \\ \dfrac{c}{a} > 0 \hfill \\ y\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {m - 2} \right)^2} > 0 \hfill \\ m + 4 < 0 \hfill \\ 3\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\ {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 4} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m < - 4 \hfill \\ m > - 1 \hfill \\ m \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow m \in \emptyset $
Đáp án : A
HS thường hay nhầm lẫn điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt âm, đó là $S < 0,P < 0$ dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.
Cách nhẩm nghiệm đặc biệt của phương trình f(x)=0 với f(x) là một đa thức:
$f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_0}\left( {{a_n} \ne 0} \right)$
+) Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì pt có nghiệm x=1.
+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì pt có nghiệm x=-1.
+) Ngoài ra, nếu pt có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm này có dạng $\frac{m}{n}$ với m là ước của \(a_0\), n là ước của \(a_n\).
Do đó ta đi thử các số có dạng m/n như trên, số nào thỏa mãn pt thì là nghiệm.
Trường hợp pt không có nghiệm hữu tỉ thì thường không xét đến trong trường phổ thông.
