Giải bài 5.11 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2 - s\\z = 5 + 3s\end{array} \right.\) a) Chứng minh rằng \(d\parallel d'\). b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(d'\).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2 - s\\z = 5 + 3s\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng \(d\parallel d'\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(d'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương và lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng \(d\) chỉ ra điểm đó không thuộc \(d'\).

Ý b: Lấy \(A,B\) lần lượt thuộc \(d\) và \(d'\), tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2; - 1;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = - \overrightarrow {{u_{d'}}} \) hay \(\) cùng phương do đó \(d\) và \(d'\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy \(A\left( {1; - 2;4} \right) \in d\) ta sẽ kiểm tra \(A\) có thuộc \(d'\) hay không.

Thay tọa độ A vào phương trình của \(d'\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2s\\ - 2 = 2 - s\\4 = 5 + 3s\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}s = 0\\s = 4\\s = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\)(Vô lý). Do đó \(d'\) không đi qua A.

Vậy \(d\parallel d'\).

b) Lấy \(B\left( {1;2;5} \right) \in d'\), do \(d\parallel d'\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\)chứa hai đường thẳng này nhận tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến.

Xét \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;1} \right)\) ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {13; - 2;8} \right) = \overrightarrow {{n_P}} \).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( P \right)\) là \(13\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 13x - 2y + 8z - 49 = 0\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5.12 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 1t\\y = 2 + t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\).
Giải bài 5.13 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxy) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng (Delta :left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = - 1 + 2t\z = 2end{array} right.). Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?
Giải bài 5.14 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí \(A\left( {1;2;3} \right)\), nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính 2 và thuộc mặt phẳng (Oyz). Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí \(M\left( { - 2;1;1} \right)\) hay không?
Giải bài 5.10 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 - t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z = 0\) a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right)\). b) Viết phương trình đường thẳng \(d'\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(d'\) cắt và vuông góc với \(d\).
Giải bài 5.9 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y - z + 2 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\). a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Giải bài 5.8 trang 28 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (Aleft( {0;0;2} right)), (Bleft( {1;2;1} right)), (Cleft( {2;3;4} right)). a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng AB. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d, đi qua điểm C và song song với AB.