-
Vở thực hành Toán 8 - Tập 1
-
Vở thực hành Toán 8 - Tập 2
Giải bài 5 trang 123 vở thực hành Toán 8 tập 2
Cho biểu thức: (P = left( {frac{{x + y}}{{1 - xy}} + frac{{x - y}}{{1 + xy}}} right):1 + frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}),
Đề bài
Cho biểu thức:
\(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):\left(1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\right)\), trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện \({x^2}{y^2} - 1 \ne 0\)
a) Tính tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)
b) Từ kết quả câu a) hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.
c) Chứng minh đẳng thức: \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 - {x^2}}}\)
d) Sử dụng câu c) hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Rút gọn phân thức theo quy tắc rút gọn
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{x + {x^2}y + y + x{y^2} + x - {x^2}y - y + x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2{\rm{x}} + 2{\rm{x}}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{{\rm{x}}^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\end{array}\)
b) Từ hai kết quả trên, ta có:
\(\begin{array}{l}P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\\ = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{1 + {x^2}}}\left( * \right)\end{array}\)
Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.
c) Ta thấy:
\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}\).
So sánh kết quả này với (*), ta suy ra P = \(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}\)
d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0\). Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x2y2 – 1 \( \ne \) 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y2 \( \ne \) 1 (y \( \ne \pm \)1).
Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x2y2 – 1 \( \ne \) 0): \(P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1\), hay 2x = 1 + x2, tức là (x – 1)2 = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1.
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 6 trang 124 vở thực hành Toán 8 tập 2
- Giải bài 7 trang 124 vở thực hành Toán 8 tập 2
- Giải bài 8 trang 125 vở thực hành Toán 8 tập 2
- Giải bài 9 trang 126 vở thực hành Toán 8 tập 2
- Giải bài 10 trang 126 vở thực hành Toán 8 tập 2
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
