Giải bài 45 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Cho phương trình (2{x^2} + 2left( {m + 1} right)x - 3 = 0) a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi ({x_1},{x_2}) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}).

Đề bài

Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\).

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 2: Biến đổi A để xuất hiện \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 3: Thay 2 hệ thức Viète vào biểu thức vừa tìm được rồi tính m.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = 2\left( {m + 1} \right);c = - 3\),

do đó \(b' = \frac{b}{2} = m + 1\)

Ta có \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-2.\left( -3 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+6\). Do \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\); \(6 > 0\) nên \({\left( {m + 1} \right)^2} + 6 > 0\) với mọi \( m\).

Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m nên áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{2} = - m - 1;{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\)

Ta lại có:

\(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} \\= {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2}\)

Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(A = {\left( {m + 1} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge - \frac{3}{2}\) với mọi \( m\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) hay \(m = - 1\).

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{3}{2}\) khi \(m = - 1\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 44 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Tìm các số \(x,y\) thỏa mãn: a) \(x - y = \frac{1}{4} - \sqrt 7 ;xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) b) \(x + y = \frac{1}{6};xy = \frac{{ - 1}}{6}\)
Giải bài 43 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Một biển báo giao thông có một phần dạng hình chữ thập với các kích thước x (cm), y (cm) và (y = x + 25,AL = AB = CD = DE = FG = GH = IJ = JK)như hình 13. a) Tính diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó theo x. b) Tìm x nếu diện tích phần hình chữ thập của biển báo giao thông đó là 975cm2.
Giải bài 42 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Năm 2021, một công ty chuyên xuất khẩu cà phê Robusta ở Gia Lai xuất khẩu được khoảng 12000 tấn cà phê Robusta. Do ảnh hưởng của thời tiết và dịch bệnh. nguồn cung khan hiếm nên lượng xuất khẩu cà phê Robusta của công ty năm 2022 và năm 2023 đều giảm, cụ thể: khối lượng xuất khẩu năm 2022 giảm (x% ) so với khối lượng xuất khẩu được của năm 2021; khối lượng xuất khẩu năm 2023 lại giảm (x% ) ((x < 10)) so với khối lượng xuất khẩu được của năm 2022. Biết khối lượng xuất khẩu cà phê Robusta
Giải bài 41 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Một công ty sản xuất đường mía thấy rằng, khi giá bán một kilôgam đường mía là x nghìn đồng ((x > 20)) thì doanh thu từ bán đường mía được tính bởi công thức: (Rleft( x right) = - 550{x^2} + 22000x)(nghìn đồng). a) Theo mô hình doanh thu đó, mức giá bán một kilôgam đường mía bằng bao nhiêu sẽ là quá cao dẫn đến việc doanh thu từ bán đường mía của công ty bằng 0 (tức là không có người mua)? b) Tính giá bán mỗi kilôgam đường mía, biết doanh thu là 211 200 nghìn đồng.
Giải bài 40 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Biết hai số (u,v) thỏa mãn (u - v = 10) và (uv = 11). Tính (left| {u + v} right|).
Giải bài 39 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Không tính ∆, giải các phương trình: a) \(- 3{x^2} + 2\sqrt 5 x + 3 + 2\sqrt 5 = 0\) b) \(\frac{1}{3}{x^2} - \frac{7}{{12}}x + \frac{1}{4} = 0\) c) \(7{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 3m - 8 = 0\)
Giải bài 38 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải các phương trình a) (left( {sqrt 2 - 1} right){x^2} + x = 0) b) (9{x^2} - 17x + 4 = 0) c) ( - {x^2} + 5,5x = 2{x^2} - 3,3x + 4,84) d) (left( {sqrt 3 - 5} right){x^2} + 3x + 4 = sqrt 3 {x^2} - 1)
Giải bài 37 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy có dạng (y = a{x^2}), gốc toạ độ O là vị trí cao nhất của cổng so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét. Chiều cao OA, chiều rộng BC của cổng đều là 4 m (Hình 12). Giả sử một chiếc xe tải có chiều cao 3 m đi vào chính giữa cổng (qua điểm A). Chiều ngang p của chiếc xe tải phải thoả mãn điều kiện gì để có thể đi qua cổng mà không chạm vào cổng?
Giải bài 36 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho biết đồ thị hàm số (y = left( {m + 2} right){x^2}left( {m ne - 2} right)) đi qua điểm (Aleft( { - 1; - 2} right)). a) Tính giá trị của hàm số tại (x = 3). b) Điểm (Bleft( {0,5; - 0,25} right)) có thuộc đồ thị hàm số hay không? c) Tìm một số điểm thuộc đồ thị hàm số (khác điểm O) rồi vẽ đồ thị hàm số đó.
Giải bài 35 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho phương trình (4{x^2} - ax + 9 = 0). Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là: A. (a = 2) B. (a = 12) hoặc (a = - 12) C. (a = 6) hoặc (a = - 6) D. (a = - 2)
Giải bài 34 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong ở hình 11: (begin{array}{l}A.y = - sqrt 2 {x^2}\B.y = sqrt 2 {x^2}\C.y = - 2{x^2}\D.y = 2{x^2}end{array})