Giải bài 42 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều>
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\)
Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CC'\), \(C'D'\), \(D'A'\), \(AA'\). Chứng minh rằng:
a) Sáu điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Các đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\), \(PS\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra rằng \(RS\parallel NP\), \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\) để chỉ ra 6 điểm đồng phẳng.
b) Chứng minh rằng \(MNQR\), \(RSNP\) là các hình bình hành để suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Do \(R\) là trung điểm \(A'D'\), \(S\) là trung điểm \(AA'\) nên \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\). Suy ra \(RS\parallel AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP\parallel BC'\).
Tứ giác \(ABC'D'\) có \(AB = C'D'\) và \(AB\parallel C'D'\) nên là hình bình hành. Suy ra \(AD'\parallel BC'\) và \(AD' = BC'\). Từ đó suy ra \(RS\parallel NP\), và 4 điểm \(R\), \(S\), \(N\), \(P\) đồng phẳng.
Chứng minh tương tự ta có \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\).
Như vậy, 6 điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) đồng phẳng. Bài toán được chứng minh.
b) Ta có \(RS\parallel NP\).
Vì \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\) nên \(RS = \frac{1}{2}AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP = \frac{1}{2}BC'\). Do \(AD' = BC'\) nên \(RS = NP\). Vậy tứ giác \(RSNP\) là hình bình hành. Suy ra \(NR\) và \(PS\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(MNQR\) là hình bình hành, từ đó ta có \(NR\) và \(MQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do \(O\) là trung điểm của \(NR\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(MQ\).
Vậy ba đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\) và \(PS\) cắt nhau trung điểm \(O\) của mỗi đường.
Bài toán được chứng minh.
- Giải bài 43 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 44 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 45 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 40 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục