Giải bài 33 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Đề bài

Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm dộ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng bất đẳng thức Cosi: a² + b² \( \ge \) 2ab (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b).

Lời giải chi tiết

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.

Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC.

Suy ra: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{BC + AB + AC}} = \frac{{chu{\rm{ }}vi\Delta AMN}}{{chu{\rm{ }}vi\Delta ABC}}\) (*)

Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.

Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.

Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE

= AB + AC – (BD + CE)

= AB + AC – (BF + CF)

= AB + AC – BC.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.

Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.

Tương tự ta có NE = NH.

Ta có:

Chu vi ∆AMN

= AM + AN + MN

= AD – MD + AE – NE + MN

= AD + AE – (MD + NE) + MN

= AD + AE – (MH + NH) + MN

= AD + AE – MN + MN

= AD + AE

= AB + AC – BC

= AB + AC + BC – 2BC

= Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC)

= 16 – 2x.

Từ (*) ta có: \(\frac{MN}{BC}=\frac{chu\text{ }vi\Delta AMN}{chu\text{ }vi\Delta ABC}\), hay \(\frac{{MN}}{x} = \frac{{16 - 2x}}{{16}}\).

Từ đó MN = \(\frac{{x(16 - 2x)}}{{16}} = \frac{{2x(8 - x)}}{{16}} = \frac{{4x(8 - x)}}{{32}} \le \frac{{{{\left[ {x + (8 - x)} \right]}^2}}}{{32}} = 2\).

Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 32 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho MA = (Rsqrt 3 ) a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB. b) Tính chu vi tam giác MAB. c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải bài 31 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a. a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính theo a bán kính của đường tròn đó. b) Chứng minh các tam giác ACE, BFD là các tam giác đều. Tính theo a bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của tam giác đó.
Giải bài 30 trang 93 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Quan sát Hình 16. Chứng minh QR // ST.
Giải bài 29 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh: a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp. b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.
Giải bài 28 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh: a) F, E, K thẳng hàng b) K, N, M thẳng hàng.
Giải bài 27 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 2,4 cm và (frac{{AB}}{{AC}} = frac{3}{4}). Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC.
Giải bài 26 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tứ giác ABCD có (widehat C + widehat D = {90^o}). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.
Giải bài 25 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC có BC = 10 và (widehat {BAC} = {30^o}). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải bài 24 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cắt cạnh CD ở P (P khác C và D). Tìm phát biểu sai: A. AP = AD B. Tứ giác ABCP là hình thang cân C. (widehat {APD} = widehat {ABC}) D. (widehat {PCB} + widehat {BAP} < {180^o})
Giải bài 23 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai tia AB, DC cắt nhau tại M và (widehat {BAD} = {70^o}). Khi đó số đo góc BCM là: A. ({80^o}) B. ({70^o}) C. ({110^o}) D. ({100^o})