Giải bài 2.45 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Cho hình tứ diện (ABCD) có ba cạnh (AB,AC,AD) đôi một vuông góc và (AB = 3,AC = 4,) (AD = 6). Xét hệ tọa độ (Oxyz) có gốc (O) trùng với đỉnh (A) và các tia (Ox,Oy,Oz) lần lượt trùng với các tia (AB,AC,AD). Gọi (E,F) lần lượt là trọng tâm của các tam giác (ABD) và (ACD). a) Tìm tọa độ của các đỉnh (B,C,D). b) Tìm tọa độ của các điểm (E,F). c) Chứng minh rằng (AD) vuông góc với (EF).

Đề bài

Cho hình tứ diện \(ABCD\) có ba cạnh \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 3,AC = 4,\)

\(AD = 6\). Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với đỉnh \(A\) và các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt trùng với các tia \(AB,AC,AD\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABD\) và \(ACD\).

a) Tìm tọa độ của các đỉnh \(B,C,D\).

b) Tìm tọa độ của các điểm \(E,F\).

c) Chứng minh rằng \(AD\) vuông góc với \(EF\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Từ vị trí của các điểm trên trục và khoảng cách từ chúng đến gốc tọa độ ta sẽ xác định được tọa độ điểm.

Ý b: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm.

Ý c: Chứng minh bằng cách sử dụng tính chất hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết

a) Từ cách lập hệ trục tọa độ của đề bài ta có \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;4;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;6} \right)\).

b) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\).

Xét tam giác \(ABD\), tọa độ trọng tâm \(E\) là \(E\left( {\frac{3}{3};0;\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow E\left( {1;0;2} \right)\).

Xét tam giác \(ABD\), tọa độ trọng tâm \(F\) là \(F\left( {0;\frac{4}{3};\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow F\left( {0;\frac{4}{3};2} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {0;0;6} \right)\) và \(\overrightarrow {EF} = \left( { - 1;\frac{4}{3};0} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {EF} = 0\). Do đó \(AD\) vuông góc với \(EF\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2.46 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( {3; - 1;m} right)) và (Bleft( {m;4;m} right)). a) Tính côsin của góc (widehat {AOB}) theo (m). b) Xác định tất cả các giá trị của (m) để (widehat {AOB}) là góc nhọn.
Giải bài 2.47 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là (Oleft( {0;0;0} right)), (Aleft( {2;0;0} right)), (Bleft( {0;3;0} right)). Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị, xác định tọa độ của các đỉnh (O',A',B') thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.
Giải bài 2.48 trang 58 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một chiếc gậy có chiều dài 2,5 m được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 0,8 m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.
Giải bài 2.44 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho ba vectơ (overrightarrow a = left( { - 4;6;7} right)), (overrightarrow b = left( {1;0; - 3} right)) và (overrightarrow c = left( {8;7;2} right)). Tính tọa độ của các vectơ sau: a) (overrightarrow m = 2overrightarrow a - 3overrightarrow b + overrightarrow c ); b) (overrightarrow n = overrightarrow a + 3overrightarrow b + 2overrightarrow c ).
Giải bài 2.43 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) tạo với nhau một góc bằng ({60^ circ }). Biết (left| {overrightarrow a } right| = 2) và (left| {overrightarrow b } right| = 3), tính (;left| {overrightarrow a + overrightarrow b } right|) và (;left| {overrightarrow a - overrightarrow b } right|).
Giải bài 2.42 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình tứ diện (ABCD), chứng minh rằng: (overrightarrow {AB} = frac{1}{2}overrightarrow {AC} + frac{1}{2}overrightarrow {AD} + frac{1}{2}overrightarrow {CD} + overrightarrow {DB} ).
Giải bài 2.41 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm (Aleft( { - 1;9;m} right)) và (Bleft( {2;m;5} right)). Biết rằng (AB = 7), tập các giá trị của (m) là A. (left{ {3; - 11} right}) B. (left{ { - 3;11} right}). C. (left{ {3;11} right}). D. (left{ { - 3; - 11} right}).
Giải bài 2.40 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho điểm (Mleft( {2;1;0} right)). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Điểm (M) nằm trên mặt phẳng (left( {Oxy} right)). B. Khoảng cách từ điểm (M) đến trục (Ox) bằng 1. C. Điểm (M) nằm trên trục (Oz). D. Khoảng cách từ (M) đến (Oy) bằng 2.
Giải bài 2.39 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho điểm (overrightarrow a = left( {1;2;4} right)) và (overrightarrow b = left( {2;1;5} right)). Tích vô hướng (left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right) cdot overrightarrow a ) bằng A. 54. B. -3 C. -6. D. 45.
Giải bài 2.38 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho điểm (Aleft( {3;0; - 6} right)). Gọi (B) là điểm nằm giữa (O) và (A) sao cho (OB = frac{1}{3}OA). Tọa độ của điểm (B) là A. (left( {1;0; - 2} right)). B. (left( {9;0; - 18} right)). C. (left( {1;0;2} right)). D. (left( {9;0;18} right)).
Giải bài 2.37 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian (Oxyz), cho ba điểm (Aleft( {1;3;5} right)), (Bleft( {0;6; - 2} right)), (Cleft( {5;3;6} right)). Tọa độ trọng tâm của tam giác (ABC) là A. (left( {2;3;4} right)). B. (left( {2;4;3} right)). C. (left( {3;4;2} right)). D. (left( {3;2;4} right)).
Giải bài 2.36 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D') có độ dài mỗi cạnh bằng 2. Tích vô hướng (overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {B'D'} ) bằng A. 4. B. (2sqrt 2 ). C. ( - 2sqrt 2 ). D. ( - 4).
Giải bài 2.35 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D'). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD} ). B. (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC'} ). C. (overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AC'} ). D. (overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ).
Giải bài 2.34 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian, cho vectơ (overrightarrow a ne overrightarrow 0 ). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Vectơ (overrightarrow a ) có đúng một vectơ đối. B. Vectơ (overrightarrow a ) có hai vectơ đối là (overrightarrow 0 ) và chính nó. C. Vectơ (overrightarrow a ) có hai vectơ đối là (overrightarrow a ) và ( - overrightarrow a ). D. Các vectơ đối của (overrightarrow a ) đều bằng nhau.
Giải bài 2.33 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện (ABCD). Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (left( {ABC} right))? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.