Lời giải chi tiết:

Đường tròn (C) có tâm I(1;−2) và bán kính R = 3.

Gọi \(M = IP \cap \left( C \right)\).

Ta có \(PI\) là đường phân giác của tam giác đều \(PAB\) \( \Rightarrow \angle API = \dfrac{1}{2}\angle APB = {30^0}\).

Xét \({\Delta _v}API\) có \(IP = \dfrac{{AI}}{{\sin {{30}^0}}} = 2AI = 2R = 6\).

\( \Rightarrow P\) chạy trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R' = 6\).

Mà \(P \in d \Rightarrow P = d \cap \left( {C'} \right)\).

Để tồn tại duy nhất điểm P thì đường thẳng \(d\) phải tiếp xúc với đường tròn \(\left( {C'} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {I;d} \right) = R' = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {11 + m} \right| = 30\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + m = 30\\11 + m =  - 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 19\\m =  - 41\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.